Multiplicación y División de números enteros.

 MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

• + • + = +
  
• + • - = -
  
• - • + = -
  
• - • - = +
  

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

• Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c)
• Conmutativa: a • b = b • a
  
• Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a • 1 = a <br>
• Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a • (b + c) = a • b + a • c

DIVISION

Para hallar el cociente exacto de dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.

Regla de los signos:                                  

+ entre += + 

- entre - =+ 

+ entre - =- 

- entre += -

Ejemplos: 

(+12) : (+3) = +4

(+12) : ( -3) = - 4 

(-12) : (-3) = +4 

(-12) : (+3) = -4

Si llegaste hasta aquí te lo agradezco, muchas gracias por leerme!

Suma y Resta de números enteros.

 -SUMA: 

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

Ejemplo:
7 + 11 = 18
-7 - 11 = -18

• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

Ejemplo:
7-11= -4
-7+11= 4

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

1. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
2. Conmutativa: a + b = b + a
3. Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a
4. Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0

RESTA:

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b)

Sistema de numeración Griego

El sistema de numeración griego más antiguo de todos fue el sistema ático, que se parece bastante al romano. Más tarde llegó el sistema jónico, que utiliza el alfabeto griego. Te hablamos de ambos a continuación:

-Sistema ático

Los griegos, como otras civilizaciones, han tenido varias formas de representar los números. Muy en el pasado, las civilizaciones micénica y minoica utilizaban un sistema conocido como números aegean.

En ese momento ya se usaban símbolos concretos para los números, pero no fue un sistema que perdurara con el tiempo.

La adopción sí resultó multitudinaria, de manera temporal, con la introducción del sistema ático alrededor del año 600 antes de Cristo, que también era conocido con el nombre de acrofónico. Este sistema tiene la particularidad de seguir utilizándose hoy día por mucho que hayan aparecido otros métodos de numeración posteriores.

El número 5, pénte, está representado con dos trazos unidos, mientras que el diez, déka, es un triángulo. Al número cien, la palabra hekatón, lo representa una letra H, mientras el número 1000, chilioi, es una letra X y el diez mil, o myrias, es una letra M.

-Sistema jónico

El tiempo pasó y alrededor del año 400 antes de Cristo se introdujo la numeración jónica, que se trata de un sistema cuasi decimal alfabético. Hay teorías que apuntan a que fue un poco antes cuando se adoptó, más o menos en el año 500 antes de Cristo a modo de acción previa a que Atenas dejara de lado el alfabeto que tenía en aquella época y comenzara a usar el de Miletus.

Los números tenían un papel fundamental entre los griegos, así que la sociedad griega adoptó este nuevo sistema que aportaba más versatilidad a la hora de trabajar con cifras.

Las unidades tenían una letra determinada (del 1 al 9), las decenas disponían de otra letra (del 10 al 90) y las centenas (del 100 al 900) contaban con otra:

El total de letras que requerían los números era de 27, pero el alfabeto de la época solo tenía 24 letras, por lo que se tuvieron que añadir tres extras. Una de ellas era digamma, también conocida como stigma, que representaba el número 6. El segundo añadido fue qoppa, utilizada en el número 90, mientras que para el número 900 se introdujo el sampi. Estas letras adicionales ya han quedado en desuso en la actualidad.

Sistema de numeración Babilónico

En esta ocasión les contaré un poco sobre el sistema de numeración babilónico.

Este sistema de numeración se llevo a cabo en Mesopotamia por primera vez entre los años de 1800-1900 a. C el cual es muy representativo entre la escritura de números de manera cuneiforme como lo son los sumerios y los alcadios.

Babilonia era una antigua ciudad que pertenecía a la Baja Mesopotamia la cual obtuvo su independencia en el período del renacimiento sumerio. Después de constantes luchas dentro de su territorio, Babilonia fue convirtiéndose poco a poco en una potencia regional y con el paso del tiempo convirtiéndose en capital de un vasto impero bajo el mandato de Hammurabi. Desde entonces se convirtió en un gran centro político, religioso y cultural.

Al sistema babilónico se le acredita el ser el primer sistema numérico posicional ya que se obligaba a usar símbolos únicos para representar cada potencia de una base. Aún teniendo un sistema decimal interno se prefirió tomar el 60 como la segunda mitad mas pequeña en lugar de 100 como actualmente, es considerado un sistema mixto de las bases 10 y 60.

De esto se deriva el uso actual de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora, 360 grados en un círculo, etc. 

La falta del cero fue una gran desventaja para el sistema de numeración babilónico.

Sistema de numeración Chino

En esta ocasión veremos un poco sobre la numeración china que al igual que las numeraciones vistas anteriormente tiene gran significado en la historia de los números enteros.

Los chinos tenían un sistema de numeración muy semejante al nuestro, lo que los hizo muy buenos y rápidos en los cálculos.

Perfeccionaron una herramienta que se cree egipcia (aunque también se le atribuye su invento a los propios chinos) para calcular. Hoy en día la seguimos utilizando: el ábaco.

La numeración china inicial formaba parte de la escritura Shang y desde sus comienzos adoptó una serie de características precisas:

– Era un sistema de carácter decimal.
– Disponía de nueve signos distintos para los nueve primeros números, careciendo durante todo el período estudiado de un signo específico para el cero.
– Utilizaba el criterio posicional (cada cifra tiene un valor dado por su posición en el número) pero de forma híbrida: En la dinastía Shang intercalando un signo especial para dicho valor y, posteriormente, cambiando la orientación de las cifras alternativamente.

Sistema de numeración Romano

En esta ocasión les contare un poco del sistema de numeración Romano que al igual que el maya y el egipcio contribuyen de cierta forma en los números enteros.

Se desarrolló en la antigua Roma y que utilizó el imperio romano, manteniéndose hasta nuestros días utilizado en algunos ámbitos como :  para enumerar un tomo del libro, cuando escribimos siglos  cuando decimos o escribimos toma I etc.

Este Sistema de numeración emplean letras mayúsculas  como símbolos a las que se les han asignado valor numérico ,pero originalmente provenían de los  etruscos  y trataron de buscar letras que se parecieran a las de los etruscos .

Los números romanos es un sistema de numeración decimal es decir tiene  decimas , centésimas , millares  etc. . en el sistema de numeración decimal no existe el cero , dentro de la numeración romana tampoco hay números negativos

sus símbolos principales y los que se pueden hacer más números  son :

Sistema de numeración egipcia

Al igual que los mayas, los egipcios también tenían su sistema de numeración, y de igual forma contribuyen a lo que son los números enteros, a continuación les cuento un poco sobre ellos:

Nos encontramos frente a una cultura que era capaz de estar en completa consonancia con la naturaleza aprendiendo a interpretar los signos y los mensajes que se ocultaban en ella. Si analizamos algunos de los símbolos de su escritura, nos damos cuenta de que están creados a partir de su idea y representación de la naturaleza.

De esta manera podemos encontrar algunos símbolos relacionados con el Sol(cielo), con ríos(naturaleza), animales… todo en relación directa con la naturaleza de ese momento. La interpretación del lenguaje egipcio no solo ha servido para descifrar la forma que tenían de registrar todo lo que ocurría, si no también ha sido clave para entender su cultura y el concepto que ellos tenían de la naturaleza que les rodeaba.

Nos encontramos ante una de las civilizaciones más misteriosas que han existido… este hecho hace que nos produzca una fascinación increíble y queramos saber más cosas relacionadas con la cultura de los egipcios. 

La numeración egipcia, y por ende, los números egipcios fueron un apartado importante dentro de la historia del antiguo reinado faraónico.                                                                                    

Lejos de parecerse a los gráficos que representan los números que nosotros conocemos, los números egipcios eran representados con diversos ideogramas.

El sistema de numeración egipcio representaba números que abarcaban desde el uno hasta millones, apareciendo en los inicios de la escritura jeroglífica.

Sistema de numeración Maya

En esta ocasión les contare un poco del sistema de numeración maya, ya que esto es un inicio y parte de lo que son los números enteros.

El sistema numérico de rayas y puntos, que formaba la base de la numeración maya, estaba en uso en Mesoamérica desde c. 1000 a. C.​ los mayas lo adoptaron por el Preclásico Tardío, y añadieron el símbolo para el cero. Esto puede haber sido la aparición más temprana conocida del concepto del cero explicito en el mundo, aunque es posible que haya sido precedido por el sistema babilónico​ El primer uso explícito del cero fue grabado en monumentos que datan de 357 d. C.​ En sus aplicaciones más tempranas, el cero sirvió como notación posicional, lo que indica la ausencia de un conteo calendárico particular. Posteriormente, se desarrolló en un número que se podía utilizar para cálculos,​ y fue incluido en los textos glíficos durante más de mil años, hasta que su uso fue extinguido por los españoles.

Los mayas representan la unidad (número 1) con un punto; y cinco unidades equivalen a una barra, El cero se puede simbolizar con un ojo (aunque no es la única representación usada por los mayas). Los números del 1 hasta el 19 se escriben de la siguiente forma:

Origen de los números enteros

El origen de los números enteros se podría remontar a casi los comienzos del uso de las matemáticas por el ser humano. La parte positiva de los números enteros es algo que va implícita en el concepto de número. Cuando contamos, estamos contando cosas y esos valores son siempre positivos. Las evidencias más antiguas de conteo están huesos de animales con muescas de casi 10.000 años de antigüedad, que se utilizaban para controlar cuánto ganado tenía una persona, una familia o una aldea.

Además este hecho conllevó rápidamente al concepto de sumar y restar: si nacía un cordero había más y se sumaban. Si morían dos corderos, entonces nos quedaban menos y se restaba.

¿Pero qué pasó cuando necesitaban deshacerse de más corderos de los que había? Ya fuera para comer o para pagar o para lo que fuera. En ese momento nace la idea del número negativo.

Actualmente es difícil datar el nacimiento de estos valores negativos en las matemáticas, pero las evidencias más lejanas que conservamos, son los antiguos ábacos que se utilizaban en China para hacer cuentas.

Tenemos constancia de que a partir de aproximadamente el siglo V d. C., estos ábacos incluían números positivos y números negativos. Los números negativos se solían representar con fichas rojas, y es por eso que incluso hoy día, decimos que estamos “en números rojos” si tenemos en el banco una cantidad negativa de dinero.

Mucho tuvo que pasar para que el mundo occidental aceptara los números negativos y empezara a operar con ellos. Aproximadamente en el siglo XVI llegan a Europa y hasta el siglo XVIII no se generaliza su uso. A partir de entonces se empieza a “hacer matemáticas” con ellos, lo que lleva a la consecución de muchísimos resultados interesantes.

Los números enteros se utilizan siempre que necesitamos hablar de valores positivos o negativos, pero sin decimales. Por ejemplo si hablamos de la relación de nacimientos-muertes al año o si hablamos de cantidades de dinero que tenemos o adeudamos.

Como curiosidad, la letra que se utiliza para definir su conjunto es la Z. Se utiliza esta letra ya que es la primera letras de la palabra alemana ‘Zhalen’ que significa números. Se ve que en este caso las matemáticas alemanas del siglo XVIII y XIX tuvieron la suficiente fuerza para utilizar su propia notación en todo el mundo.

Introducción

Introducción a los números enteros.

Los números están en todas partes, eso está claro. Pero no todos los números los podemos catalogar de la misma forma.

En este blog vamos a hablar de números enteros, vamos a ver qué son, cómo surgen y para qué sirven.

Antes, vamos a definir rápido qué son los números naturales. El conjunto de los números naturales es simplemente el que todos los seres humanos conocemos de forma natural desde pequeños. Es decir el 1, el 2, el 3…

Vamos, que los números naturales son los que usamos para contar. 

Son siempre positivos, sin decimales y se cuentan de 1 en 1.

Siempre tendremos la eterna polémica de si el 0 es un número natural o no. Pero sin querer entrar en conflicto con nadie, te cuento un secreto… da igual. El 0 lo puedes considerar natural o no, que todo sigue funcionando exactamente igual. Al final, es un punto de vista igual de respetable en un caso o en el otro.

Bueno, pues ahora que ya conocemos los números naturales, vamos a conocer a su hermano mayor: Los números enteros.

Un número es entero si es un número natural, si es la versión negativa de un número natural o si es el 0. Si te fijas, aquí ya no hay duda con el 0 porque lo definimos directamente.

Es decir, los números enteros son aquellos que abarcan desde menos infinito hasta más infinito, pero contando de uno en uno y sin decimales: … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …